Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) đi qua điểm M(x1; y1)

Cách 1 :

– Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M có hệ số góc là k có dạng :

y = k( x – x1) + y1.

– (d) tiếp xúc với đồ thị (C) tại N(x0; y0) khi hệ:

có nghiệm xo

Cách 2 :

– Gọi N(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) và tiếp tuyến (d) qua điểm M, nên (d) cũng có dạng y = y’0(x – x0) + y0.

– (d) đi qua điểm nên có phương trình : y1 = y0′(x1 – x0) + y0 (*)

– Từ phương trình (*) ta tìm được tọa độ điểm N(x0; y0) , từ đây ta tìm được phương trình đường thẳng (d)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hàm số y = 2×3 – 3×2 + 5 có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A (19/12; 4) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số.

Hướng dẫn:

Hàm số đã cho xác định D = R

Ta có: y’ = 6×2 – 6x

Gọi M(x0; y0)∈(C)⇔ y0 = 2×03 – 3×02 + 5 và y'(x0) = 6×02 – 6×0

Phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại M có dạng:

y – y0 = y’(x0)(x – x0)

⇔ y – 2×03 + 3×02 – 5 = (6×02 – 6×0)(x – x0 )

⇔ (6×02- 6×0)x – 4×03 + 3×03 + 5 = y

A ∈ Δ ⇔4 =(6×02 – 6×0).(19/12) – 4×03 + 3×03 + 5

⇔8×03 – 25×02 + 19×0 – 2 = 0

⇔x0 = 1 hoặc x0 = 2 hoặc x0 = 1/8

Với x0 = 1 ⇒ Δ:y = 4

Với x0 = 2 ⇒ Δ:y = 12x – 15

Với x0 = 1/8 ⇒ Δ:y = (-21/32)x + 645/128

Bài 2: Cho hàm số: có đồ thị là (C) và điểm A(0; m). Xác định m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox.

Hướng dẫn:

TXĐ: D = R{1}

Gọi điểm M(x0; y0).

Ta có y’ = -3/(x-1)2

Tiếp tuyến Δ tại M của (C) có phương trình:

Vì tiếp tuyến qua A(0; m) nên ta có:

Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho

Xem thêm|: Top 15 quán lẩu Cần Thơ nổi tiếng du khách không thể bỏ qua

Khi đó:

Ta có: (*) có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho

Vậy 1 ≠ m > (-2/3) là những giá trị cần tìm

Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 2×2 + (m – 1)x + 2m có đồ thị là (Cm). Tìm m để từ điểm M(1; 2) vẽ đến (Cm) đúng hai tiếp tuyến.

Hướng dẫn:

Ta có: y’ = 3×2 – 4x + m-1. Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

y =(3a2-4a+m-1)(x-a) + a3-2×2+(m-1)a+2m

Vì M ∈ Δ ⇔2 = (3a2-4a+m-1)(1-a) + a3-2×2+(m-1)a+2m

⇔2a3+5a2-4a+3m-3 = 0 (*)

Yêu cầu bài toán tương đương với (*) có đúng hai nghiệm phân biệt. (1)

Xét hàm số: h(t) = 2t3+5t2-4t, t∈R.

Ta có: h’(t) = 6t2+10t-4. Cho h’(t) = 0 ⇒

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1)

⇒ là những giá trị cần tìm.

Bài 4: Cho hàm số y = (1/3)x3-2×2+3x có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(4/9; 4/3) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số.

Hướng dẫn:

Ta có: y’ = x2-4x+3. Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 3x

Với a = 1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4/3

Với a = 8/3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-5/9)x + 128/81

Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến đi qua điểm M(6;4)

Hướng dẫn:

Ta có:

Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (3/4)x – 1/2

Với a = 3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4

Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C): biết d đi qua điểm A(-6; 5)

Hướng dẫn:

Ta có:

Xem thêm|: Chạy Nhanh Nào Anh Em Mùa 1, Running Man Bản Trung Quốc

Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -x-1

Với a = 6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-1/4)(x-6) + 2 = (-1/4)x + 7/2

Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x3 – 2×2 + x + 4 đi qua điểm M( -4; -24)

Hướng dẫn:

Ta có: y’ = 3×2-4x+1. Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:

y = (3a2-4a+1)(x-a)+a3-2a2+a+4

Vì A(-4; -24) ∈ Δ ⇔ -24 = (3a2-4a+1)(-4-a)+a3-2a2+a+4

⇔ -2a3-10a2+16a+24 = 0 ⇔

Với a = -6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 133(x+6)-240 = 133x+508

Với a = 2, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5(x-2)+6 = 5x-10

Với a = -1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 8(x+1)+2 = 8x+10

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm (-6; 5) là

Bài 2: Tiếp tuyến kẻ từ điểm (2; 3) tới đồ thị hàm số là:

A. y = -28x + 59; y = x + 1

B. y = -24x + 51; y = x + 1

C. y = -28x + 59

D. y = – 28x + 59; y = -24x + 51

Bài 3: Cho hàm số có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(- 1; 0) là:

A.y = (3/4)x

B. y = (3/4)(x+1)

C. y = 3(x + 1)

D. y = 3x + 1

Bài 4: Qua điểm A(0; 2) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x4 – 2×2 + 2

A. 2 B. 3 C. 0 D. 1

Bài 5: Cho hàm số y = – x4 + 2×2 có đồ thị (C). Xét hai mệnh đề:

(I) Đường thẳng Δ: y = 1 là tiếp tuyến với (C) tại M(-1; 1) và tại N(1; 1)

(II) Trục hoành là tiếp tuyến với (C) tại gốc toạ độ

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

Xem thêm|: Gỏi cá đục: Cách làm nhanh, đơn giản tại nhà ngon hết nấc – Vinpearl

C. Cả hai đều sai

D. Cả hai đều đúng

Bài 6: Cho hàm số y = x3 – 6×2 + 9x – 1 có đồ thị là (C). Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C):

A. 2 B. 1 C. 3 D. 0

Bài 7: Đường thẳng y = 3x + m là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 2 khi m bằng

A. 1 hoặc -1

B. 4 hoặc 0

C. 2 hoặc -2

D.3 hoặc -3

Bài 8: Định m để đồ thị hàm số y = x3 – mx2 + 1 tiếp xúc với đường thẳng d: y = 5?

A. m = -3 B. m = 3 C. m = -1 D. m = 2

Bài 9: Phương trình tiếp tuyến của (C): y = x3 biết nó đi qua điểm M(2; 0) là:

A. y = 27x ± 54

B. y = 27x – 9; y = 27x – 2

C. y = 27x ± 27

D. y = 0; y = 27x – 54

Bài 10: Cho hàm số y = x2 – 5x – 8 có đồ thị (C). Khi đường thẳng y = 3x + m tiếp xúc với (C) thì tiếp điểm sẽ có tọa độ là:

A. M(4; 12) B. M(- 4; 12) C. M(-4; – 12) D. M( 4; – 12)

Bài 11: Cho hàm số có đồ thị (C). Từ điểm M(2; -1) có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình:

A. y = -x + 1 và y = x – 3

B. y = 2x – 5 và y = -2x + 3

C. y = -x – 1 và y = – x + 3

D. y = x + 1 và y = – x – 3

Bài 12: Cho hàm số y = x3 + 3×2 – 6x + 1 (C). Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) trong các phương trình sau, biết tiếp tuyến đi qua điểm N(0; 1).

Bài 13: Cho hàm số y = x4 + x2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm M(-1; 3).

A. y = -6x – 2

B. y = -6x – 9

C. y = -6x – 3

D. y = -6x – 8

Bài 14: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(4; 3)

Bài 15: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A( – 7; 5).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm
• Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
• 60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án (phần 1)
• 60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án (phần 2)

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

• Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán 11 có đáp án
• Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa 11 có đáp án chi tiết
• Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý 11 có đáp án
• Kho trắc nghiệm các môn khác